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Fonction d’ambiguïté

La fonction d’ambiguïté est une fonction bidimensionnelle χ(τ, fD ) avec le temps de transit du signal τ dans le filtre et la fréquence Doppler fD du signal d’écho. Il s’agit d’un outil analytique permettant d’étudier les effets des vitesses de la cible sur le signal de sortie d’un filtre adapté (matched filter, MF). Elle n’est définie que par les caractéristiques de l’impulsion de l’écho et du filtre adapté, et non par un scénario de cible spécifique.

La fonction d’ambiguïté représente la réponse du filtre adapté à la fois au signal transmis s(t), c’est-à-dire la forme d’onde connue pour laquelle le filtre adapté a été dimensionné, et à un signal reçu r(t) dont la forme d’onde a été décalée d’une fréquence Doppler. La fonction d’ambiguïté permet de déterminer si une forme d’onde (waveform) de transmission particulière convient à l’application radar envisagée.

Le filtre adapté est utilisé pour déterminer à partir de la forme d’onde la présence (détection) de l’amplitude ou de l’emplacement d’une forme d’onde connue. Il fournit le meilleur rapport signal/bruit possible pour les signaux d’écho sans décalage de fréquence dû à l’effet Doppler. La réponse impulsionnelle d’un filtre adapté est la suivante :

(1)

  • s* = valeur conjuguée complexe du signal transmis s;
  • T = moment où toute l’énergie du signal a pénétré dans le filtre ;
  • t = temps actuel

La réponse χ(τ) d’un filtre adapté pour le signal reçu r(t) sans déviation du duplicateur, pour l’instant uniquement en tant que copie du signal transmis dans la bande de base à l’instant t = τ, se présente comme suit :

(2)

On a supposé ici, de manière simplifiée, que T = 0. Si le signal reçu est maintenant soumis à un décalage Doppler, il aura la forme suivante :

(3)

Ce signal reçu inséré dans l’équation 2 fournit la définition de la fonction d’ambiguïté :

(4)

Pour fD = 0, l’expression e⁰ = 1 et donc la fonction d’ambiguïté correspond exactement à la fonction d’autocorrélation du signal s(t).

Pour ce signal écho avec une fréquence Doppler non nulle, le filtre adapté n’est plus ajusté de manière optimale. La sortie du filtre est maintenant influencée à la fois par le temps de propagation du signal et par le décalage Doppler. Le décalage Doppler entraîne une détérioration du rapport signal/bruit du filtre adapté. C’est pourquoi les filtres inadaptés (mismatched filter, MMF) sont également utilisés dans les équipements radar. La fonction d’ambiguïté permet de répondre à la question de savoir quelle réponse de filtre est requise.

Fréquence Doppler en Hz
Temps de propagation du signal en s
Fonction d’ambiguïté

Figure 1 : Fonction d’ambiguïté pour une impulsion rectangulaire de 2 s (simulation MatLab)

Fréquence Doppler en Hz
Temps de propagation du signal en s
Fonction d’ambiguïté

Figure 1 : Fonction d’ambiguïté pour une impulsion rectangulaire de 2 s (simulation MatLab)

Fonction d’ambiguïté pour une impulsion rectangulaire

La forme de l’impulsion d’émission d’un radar à impulsions classique, c’est-à-dire d’un radar à modulateur on/off, est décrite par la formule suivante :

(5)

  • TPW = durée de l’impulsion transmise
  • t = temps actuel pendant le passage à travers le filtre.

Le signal écho avec une fréquence Doppler est donc le suivant :

(6)

La fonction d’ambiguïté pour l’impulsion carrée est alors la suivante :

(7)

Temps de propagation du signal en s
Fréquence Doppler en Hz

Figure 2 : Contours de la fonction d’ambiguïté pour une impulsion rectangulaire sans modulation intra-impulsionnelle (simulation MatLab)

Temps de propagation du signal en s
Fréquence Doppler en Hz

Figure 2 : Contours de la fonction d’ambiguïté pour une impulsion rectangulaire sans modulation intra-impulsionnelle (simulation MatLab)

Fréquence Doppler en Hz
Ambiguïté en volts

Figure 3 : Fonction d’ambiguïté, section sur la ligne τ = 0

Fréquence Doppler en Hz
Ambiguïté en volts

Figure 3 : Fonction d’ambiguïté, section sur la ligne τ = 0


Aucune donnée numérique ne peut être obtenue à partir d’une représentation tridimensionnelle telle que celle de la figure 1. C’est pourquoi des représentations bidimensionnelles des contours (figure 2) ou des sections horizontales ou verticales sont également développées. Une coupure sur la ligne fD = 0 se traduirait par une forme d’impulsion triangulaire à la sortie du filtre adapté. Une coupure sur la ligne τ = 0 est illustrée à la figure 3.

Propriétés de la fonction d’ambiguïté
  1. La fonction a une valeur maximale à l’origine (à τ = 0 et fD = 0) et une magnitude plus faible ailleurs.
  2. Le volume sous la surface de la fonction d’ambiguïté (voir figure 1) et le plan τ - fD est constant, c’est-à-dire égal à un.
  3. La fonction est symétrique par rapport aux lignes τ = 0 et fD = 0.

    (C’est pourquoi les deux côtés des équations (4) et (7) sont parfois dotés de barres d’amplitude ou même de graphiques contenant la moitié des valeurs respectives, appelés „fonctions d’ambiguïté partielle“ avec |τ| < TPW.)