Ambiguity-Funktion
Die Ambiguity-Funktion (AF) (Mehrdeutigkeitsfunktion) ist eine zweidimensionale Funktion χ(τ, fD ) mit der Signallaufzeit τ im Filter und der Dopplerfrequenz fD des Echosignals. Sie ist ein analytisches Instrument zur Untersuchung der Auswirkungen von Zielgeschwindigkeiten auf das Ausgangssignal eines Optimalfilters (matched filter, MF). Sie wird nur durch die Eigenschaften des Echoimpulses und des Optimalfilters definiert und nicht durch ein bestimmtes Zielszenario.
Die Ambiguity-Funktion repräsentiert die Antwort des Optimalfilters sowohl auf das Sendesignal s(t), das heißt, die bekannte Signalform, für welches das Optimalfilter dimensioniert wurde, als auch auf ein Empfangssignal r(t), dessen Signalform durch eine Dopplerfrequenz verschoben wurde. Die Ambiguity-Funktion ermöglicht eine Aussage über die Eignung einer bestimmten Sendesignalform (waveform) für die vorgesehene Radaranwendung.
Das Optimalfilter dient zur optimalen Bestimmung des Vorhandenseins (Detektion) der Amplitude oder der Lage einer bekannten Signalform. Es ermöglicht das bestmögliche Signal/Rauschverhältnis für die Echosignale ohne eine Frequenzverschiebung durch den Doppler Effekt. Die Impulsantwort eines Optimalfilters lautet:
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(1)
- s* = konjugiert komplexer Wert des Sendesignals s;
- T = Zeitpunkt, zu dem die gesamte Energie des Signals in das Filter eingelaufen ist;
- t = aktueller Zeitpunkt
Die Antwort χ(τ) eines Optimalfilters auf das nicht dopplerverschobene Empfangssignal r(t) vorerst nur als Kopie des Sendesignals im Basisband zum Zeitpunkt t = τ lautet damit:
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(2)
Dabei wurde vereinfacht angenommen, dass T = 0. Wenn das Empfangssignal nun einer Dopplerverschiebung unterliegt, dann hat es die Form:
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(3)
Dieses Empfangssignal eingesetzt in die Gleichung 2 ergibt die Definition der Ambiguity-Funktion:
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(4)
Für fD = 0 wird der Ausdruck e⁰ = 1 und damit entspricht die Ambiguity-Funktion genau der Autokorrelationsfunktion des Signals s(t).
Für dieses Echosignal mit einer Dopplerfrequenz ungleich Null ist das Optimalfilter nicht mehr optimal abgestimmt. Der Ausgang des Filters wird nun sowohl durch die Signallaufzeit als auch durch die Dopplerverschiebung beeinflusst. Die Dopplerverschiebung bewirkt in dem Optimalfilter eine Verschlechterung des Signal/Rauschverhältnisses. Deswegen werden in Radargeräten auch Nicht-Optimalfilter (mismatched filter, MMF) eingesetzt. Die Frage, welche Filterantwort benötigt wird, kann durch die Ambiguity-Funktion beantwortet werden.
Bild 1: Ambiguity-Funktion für einen Rechteckimpuls mit 2 s Länge (Simulation mit MatLab)
Bild 1: Ambiguity-Funktion für einen Rechteckimpuls mit 2 s Länge (Simulation mit MatLab)
Ambiguity-Funktion für einen Rechteckimpuls
Die Sendeimpulsform eines klassischen Impulsradars, das heißt, ein Radar mit einem keyed on/off Modulator wird beschrieben mit:
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(5)
- TPW = Dauer des Sendeimpulse (pulse width)
- t = aktueller Zeitpunkt während des Durchlaufs durch das Filter
Das mit einer Dopplerfrequenz behaftete Echosignal ist folglich:
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(6)
Die Ambiguity-Funktion für den Rechteckimpuls beträgt dann:
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(7)
Bild 2: Konturen der Ambiguity-Funktion eines unmodulierten Rechteckimpulses (Simulation mit MatLab)
Bild 2: Konturen der Ambiguity-Funktion eines unmodulierten Rechteckimpulses (Simulation mit MatLab)
Bild 3: Ambiguity-Funktion, Schnitt auf der Linie τ = 0
Aus einer dreidimensionalen Darstellung wie im Bild 1 können keine numerischen Daten entnommen werden.
Deshalb werden auch zweidimensionale Kontur-Darstellungen (Bild 2) oder horizontale oder vertikale Schnitte entwickelt.
Ein Schnitt auf der Linie fD = 0 würde einen
dreieckigen Impulsverlauf ergeben, wie er durch das Optimalfilter ausgegeben wird.
Ein Schnitt auf der Linie τ = 0
ist im Bild 3 dargestellt.
Eigenschaften der Ambiguity-Funktion
- Die Funktion hat im Ursprung (bei τ = 0 und
fD = 0)
den Maximalwert und weist andernorts einen kleineren Betrag auf.
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- Das Volumen unter der Oberfläche der Ambiguity-Funktion (siehe Bild 1) und der
τ - fD Ebene ist konstant, nämlich gleich eins.
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- Die Funktion ist symmetrisch in Bezug auf die Linien
τ = 0 und
fD = 0.
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(Weswegen manchmal beide Seiten der Gleichungen (4) und (7) mit Betragsstrichen versehen oder sogar nur Plots mit der Hälfte der jeweiligen Werte erstellt werden, sogenannte „partielle Ambiguity-Funktionen“ mit |τ| < TPW.)