Основы радиолокации

Быстрое преобразование Фурье

Преобразование Фурье было предложено французским математиком Жан-Бати́стом Жозе́фом Фурье́ (Jean-Baptiste Joseph Fourier) в 1822 году в его книге «Théorie analytique de la chaleur» («Аналитическая теория тепла»). Сигнал, принимаемый импульсным радиолокатором, представляет собой временную последовательность импульсов, амплитуда и фаза которых измеряются. Допплеровские методы обработки основаны на использовании спектрального (частотного) содержания этого сигнала. Частотное содержание сигнала, представленного во временной области, получается при помощи преобразования Фурье. Результатом применения этого преобразования является спектр временного сигнала или сигнал в частотной области.

Преобразование Фурье стало фундаментальным методом в процедурах обработки сигналов, поскольку дает возможность представить разнообразную информацию, содержащуюся в эхо-сигнале, в вид, пригодный для обработки при помощи компьютерной техники.

Преобразование Фурье представляет собой метод анализа функций, основанный на разложении их по базовым функциям – синусам и косинусам. Это означает, что функция, описывающая форму сигнала, представляется в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных гармоник, имеющих разные частоты, амплитуды и фазы. Такая разновидность анализа называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

На рисунках 1 и 2 приведены графики, поясняющие принцип разложения функции по гармоническим функциям на примере прямоугольного сигнала. В данном случае в сумму входят нечетные синусоидальные гармоники. Достоинством представления прямоугольного сигнала в виде частотного спектра является то, оно сводится к таблице, содержащей значения частот и амплитуд гармонических составляющих. Как известно, табличная форма представления идеально подходит для обработки на компьютере.

К сожалению, использование преобразования Фурье требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Для преодоления этой проблемы разработан специальный алгоритм – быстрое преобразование Фурье (БПФ). Скорость анализа при его использовании достигается за счет:

• выбора наиболее подходящего математического алгоритма;
• неиспользования операций умножения (требующих значительно большего времени для вычислений, чем операция сложения);
• использования уже первых результатов (членов разложения) в качестве аппроксимации при расчетах..

Благодаря быстрому Фурье-анализу полная форма эхо-сигнала может храниться и использоваться при обработке в виде небольшой совокупности данных. Такие данные могут использоваться при распознавании радиолокационных целей в качестве характерных признаков по аналогии с использованием отпечатков пальцев.

Математические основы: www.mathepower.com (только на немецком языке)
Больше информации: www.iti.fh-flensburg.de (только на немецком языке)
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/; The Design and Implementation of FFTW3, Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).