Barker Kodu
| n kodunun uzunluğu | Kod Elemanları | İşaret-yan topuzlar arası açıklık (dB) |
| 2 | + − , + + | −6,0 |
| 3 | + + − | −9,5 |
| 4 | + + − + , + + + − | −12,0 |
| 5 | + + + − + | −14,0 |
| 7 | + + + − − + − | −16,9 |
| 11 | + + + − − − + − − + − | −20,8 |
| 13 | + + + + + − − + + − + − + | −22,3 |
Tablo 1: Barker kodlarıyla çizelge
Resim 1: Barker koduyla faz-kodlanmış n = 7 uzunlukta bir gönderim darbesinin çizgesi
Barker Kodu
Bir Barker kodu, darbe sıkıştırma yöntemiyle çalışan radar aygıtları için bir darbe içi-ikili faz modülasyonu kullanarak nispeten uzun gönderim darbeleriyle menzil çözünürlüğünü iyileştirmeyi sağlayan olanaklardan biridir. +1 ve −1 arasında değişen farklı uzunlukta sayı dizileri bir otomatik ilintilendirme (autocorrelation) koşulunu olabildiğince doğru yerine getirir. Burada „olabildiğince doğru“ ifadesi, otomatik ilintilendirme sırasında ortaya çıkan yan topuzların (side lobes) büyüklüğünün 1 den daha küçük ya da eşit olması anlamına gelir.
Barker kodları, adını 6000 değişik polinomu inceleyerek 1953 yılında yayınlayan Ronald Hugh Barker’dan almaktadır. Sonuçta bilinen 9 adetlik Barker kodu listesi ortaya çıkmıştır. Darbe dizisinin basit olumsuzlamaları (negations) veya evrilmesi de (inversions) mümkündür. (Ancak burada üzerinde durmayacağız.) Daha sonra, kod uzunluğu n = 4·1033 ü bulan sayıda darbe dizileri bilgisayar destekli araştırıldı,[1] ancak bu gereksinimi karşılayan daha fazla sayıda herhangi bir kod dizisi bulunamadı.
Matematiksel açıklama şöyledir:
.print.png)
.png)
(1)
(Yani: Komşu alt darbelerinin (subpulses) toplamının büyüklüğü, dizinin tüm alt bileşenlerinin uzunlukları 1 den daha küçük veya eşit olmalıdır.)
Not: Çizelge 1 deki verilen dizide n = 2 için kod uzunluğu, + + şeklen bu matematiksel koşulu yerine getirse de, darbe içi modülasyonun menzil çözünürlüğünü 1/n (l = kod uzunluğu) kadar iyileştirmesi beklenmesi açısından uygulamada kullanabilir değildir. (Bu dizi, 2 gibi, yegâne çift asal sayı olan bir benzeri özel konuma sahiptir: Herhangi bir asal sayı gibi, yalnızca 1 e ve kendisine, daha başka bir bölücü sayı olmadığı için kalansız olarak bölünebilir!)
Yan topuzların büyüklüğünün hesaplanması, yan topuzların 1 den küçük veya eşit tanımlanmasından dolayı çok basittir. Sıkıştırılmış darbelerin sayısı o zaman kod elemanlarının sayısına eşit olur. Dolayısıyla, l uzunluğu 13 olan Barker kodu için yan topuz zayıflaması 20·log10(13) = 22,28 dB olur.
Modülasyon
Modülasyon durumunda, çizelge ve Resim. 1 deki artı, 0° lik bir faz açısına, eksi ise 180° lik bir faz sıçramasına karşılık gelir. Uygulamada basitçe bu, Ara Frekans (IF) çıkışı yanlışlıkla giriş olarak kullanılan ile bir halka karıştırıcı ile gerçekleştirilebilir. (İşlevin açıklaması için „Amatör radar yapımı” bölümüne bakınız.) Bu halka karıştırıcı (yukarıdaki Resim. 1 de görüldüğü gibi) bir negatif ya da pozitif gerilimle kontrol edilebilir. Anahtarlama gerilimi, TTL-çıkışı karşılaştırıcı (comparator) olarak bağlanan bir işlemsel yükselteç (operational amplifier) tarafından ± 5 V ta tutulan bir kayan yazmaç (shift register) ile üretilebilir.
Resim 2: n = 7 uzunluktaki bir Barker kodunun oto-ilintisi.
Darbe sıkıştırması
Bir Barker kodunun darbe sıkıştırması, özellikle otomatik ilintilendirme olmak üzere, bir ilintilendirme (correlation) sürecidir, çünkü gönderilen işaretin biçimi alınan işaretle, yani burada kendisi ile karşılaştırılır. Bu süzgeç, ya bir analog en uygun süzgeçtir veya karşılaştırma kayan pencere yöntemi ile bellekte gerçekleştirilir.
İlintili Barker kodları
| Kronecker çarpımı | n kodunun uzunluğu | İşaret-yan topuzlar arası açıklık (dB) |
| B2⊗B7 | 14 | −14,0 |
| B4⊗B4 | 16 | −20,8 |
| B4⊗B5 | 20 | −22,3 |
| B4⊗B7 | 28 | −28,9 |
| B7⊗B7 | 49 | −30,8 |
| B5⊗B11 | 55 | −14,0 |
| B5⊗B13 | 65 | −13,9 |
| B13⊗B13 | 169 | −22,28 |
Çizelge 2: İlintilendirilmiş Barker kodları
Bilinen Barker kodları yalnızca nispeten bir kısa darbe süresi için uygundur, çünkü bunlar yalnızca 13 kod elemanının bir uzunluğu ile sınırlanmıştır. Keza, ulaşılabilen 22,3 dB lik en büyük yan topuz zayıflama değeri, istenen 30 dB değerinin çok altındadır. Yan topuz büyüklüklerinde ≤ 2 ila ≤ 3 arasında değişen başka dizi uzunlukları da bulunmaktadır.
İlintili Barker kodları iki Barker kodunun Kronecker çarpımını kullanır. Kronecker çarpımı B5⊗B13, gönderilen darbenin (B13) 13 adet alt darbeye bölündüğü anlamına gelir. Bu alt darbenin her biri, Barker kodu (B5) kullanılarak daha küçük 5 adet alt darbeye daha bölünmüştür. (B13) ün negatif alt darbeleri için B5 kodunun her elemanı −1 ile çarpılır. Böylece toplamda 65 adet alt darbeden oluşan kod uzunluğu ortaya çıkar.
Video önerisi: Paul Denisowski, „Barker Kodunu Anlama”, Münih, Rohde & Schwarz firmasının eğitim filmi
Kaynak:
- Borwein, P., Mossinghoff, M. (2014). “Wieferich pairs and Barker sequences“, II. LMS Journal of Computation and Mathematics, 17(1), S. 24-32 (DOI: 10.1112/S1461157013000223)