Rayleigh-Verteilung
Bild 1: Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nach Rayleigh
Rayleigh-Verteilung
Die Rayleigh-Verteilung, benannt nach William Strutt, Lord Rayleigh, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Komponenten unabhängige, positive Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung sind. Bis zu einer Reskalierung stimmt sie mit der Chi-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden überein. In der Statistik bedeuten zwei Freiheitsgrade, dass zwei Werte in der Berechnung frei variieren können.
Mathematisch gesehen ergibt sich die Rayleigh-Verteilung aus zwei Gauß-Verteilungen px(x) und py(y), die voneinander unabhängig sind. Man betrachte für eine Herleitung zwei unabhängige gaußverteilte Zufallsvariablen x und y, die jeweils eine symmetrische Glockenkurve um einen Mittelwert aufweisen:
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(1)
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF, von: probability density function) zweier unabhängiger Variablen ist aufgrund der statistischen Unabhängigkeit von px(x) und py(y) das Produkt der einzelnen Dichtefunktionen:
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(2)
Wenn zum Beispiel x und y eine Rauschleistung mit dem Real- (In-Phase) und Imaginärteil (Quadrature) als komplexes Signal darstellen, interessiert uns ρ² = x² + y² als die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Betrags. Die Transformation in Polarkoordinaten (ρ, ϕ) ergibt:
Bild 2: Der reale Wert ρ ist unabhängig von der Phasenlage ϕ
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(3)
In Form von Polarkoordinaten ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion unabhängig von ϕ:
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(4)
Deshalb ergibt die Integration von ϕ einen einfachen Faktor von 2π.
Die Rayleigh-Verteilung ist daher:
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(5a)
(oder in einer anderen Schreibweise)
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(5b)
- wobei σ der wahrscheinlichste Wert ist, auch als Modus der Rayleigh-Verteilung bezeichnet.
Der Maximalwert der PDF ( pmax) ist:
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- Der Erwartungswert von p ist
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(als Rauschleistung) und die Standardabweichung ist
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Anwendungen in der Radarsignalverarbeitung
Die Rayleigh-Verteilung wird verwendet:
- für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Fluktuationsverluste für die Modelle Swerling Fall 1 und 2;
- für die Amplitudendichte eines Bandpass-Rauschens.
- Im Allgemeinen ist sie das klassischste Modell zur Beschreibung der Amplitudenverteilung von in der Entfernung gleichmäßig verteiten Festzielstörungen und durch Düppelstörungen. Die Rayleigh-Verteilung eignet sich zur Beschreibung von meteorologischem Clutter, Festzielstörungen von Radargeräten mit geringer Auflösung (Halbwertsbreite des Antennendiagramms größer als 2°, Impulsdauer größer als 1 µs). Diese Störungen werden dann auch als Rayleigh Clutter beschrieben.
- Modelle mit Rayleigh-Verteilung werden zur Beschreibung diffuser Fading Situationen verwendet.