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Fast Fourier Transformation

Bild 1: Die amplitudenmäßige Summe (rot) aus der Grundfrequenz (gelb) und der dritten Oberwelle (türkis) bilden schon ein Signal, welches sich einer Rechteckfunktion annähert.

Bild 2: Bereits die fünfte harmonische Oberwelle als drittes Sinussignal lässt schon das Rechtecksignal sehr deutlich werden.

Bild 3: Darstellung des Rechtecksignals als Frequenzspektrum

Bild 1: Die amplitudenmäßige Summe (rot) aus der Grundfrequenz (gelb) und der dritten Oberwelle (türkis) bilden schon ein Signal, welches sich einer Rechteckfunktion annähert.

Bild 2: Bereits die fünfte harmonische Oberwelle als drittes Sinussignal lässt schon das Rechtecksignal sehr deutlich werden.

Bild 3: Darstellung des Rechtecksignals als Frequenzspektrum

Bild 1: Die amplitudenmäßige Summe (rot) aus der Grundfrequenz (gelb) und der dritten Oberwelle (türkis) bilden schon ein Signal, welches sich einer Rechteckfunktion annähert.


 

Bild 2: Bereits die fünfte harmonische Oberwelle als drittes Sinussignal lässt schon das Rechtecksignal sehr deutlich werden.


 

Bild 3: Darstellung des Rechtecksignals als Frequenzspektrum

Fast Fourier Transformation

Die Fourier-Transformation wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur entwickelt. Das durch ein Radargerät empfangene Signal ist im Grunde eine zeitliche Folge von Impulsen, deren Amplitude und Phase gemessen werden kann. Die Dopplerfrequenz- Verarbeitung basiert zusätzlich auf eine Messung des Anteils des Frequenzspektrums des empfangenen Signals. Der Frequenzanteil des zeitbezogenen Signals wird durch die Fouriertransformation ermittelt.

Die Fouriertransformation ist zu einem fundamentalen Verfahren in der Signalverarbeitung geworden, da bei einem Radarecho eine Vielzahl von Informationen in der Signalform enthalten sind. Diese Informationen werden durch die Fouriertransformation in ein Datenformat überführt, welches durch die rechnergestützte Weiterverarbeitung genutzt werden kann.

Die Fourier-Transformation ist eine Form der Analyse, die eine Funktion in Sinus- und Cosinus-Bestandteile (Basisfunktionen) zerlegt, das heißt in eine Summe von Sinus- oder Cosinusfunktionen verschiedener Frequenz, Phase und Amplitude. Zur Unterscheidung von der Fast Fourier Transformation (FFT) wird diese Analyse Diskrete Fourier Transformation (DFT) genannt.

In der nebenstehenden Diagrammreihe wird als Beispiel gezeigt, wie ein Rechtecksignal aus der Summe von einer Sinusspannung mit ihren ungeraden Oberwellen entsteht. Die Darstellung des Rechtecksignals als Frequenzspektrum lässt sich leicht in einer Tabelle mit den Angaben Frequenz und Amplitude umschreiben - und Tabellen: das sind ideale Daten für eine rechnergestützte Weiterverarbeitung.

Für die mathematische Lösung wurden verschiedene Algorithmen entwickelt, zum Beispiel der Cooley–Turkey– Algorithmus, der Sande–Turkey– Algorithmus oder der Algorithmus für Bit-Reversing. Als Schnelle Faltung wird ein Algorithmus genannt, bei welchem anstatt zwei Signale im Zeitbereich zu falten, diese in den Frequenzbereich transformiert, multipliziert und wieder rücktransformiert werden. Dieser Umweg kann unter Umständen sehr viel schneller zu einem Ergebnis führen.

Die Umrechnungen sind leider sehr rechenaufwändige Prozeduren, die oft auch recht lange dauern. Eine Fast Fourier Transformation ist einfach nur ein Algorithmus, mit dem die Diskrete Fourier Transformation schneller und effizienter durchgeführt werden kann. Dieses wird erreicht durch:

Durch diese Maßnahmen benötigt eine Fast Fourier Transformation (abhängig von der Anzahl der Abtastungen) oft weniger als ein Hundertstel der Rechenzeit einer Diskreten Fourier Transformation. Mit der Fast Fourier Analyse können bei der automatischen Zielerkennung ganze Signalformen von Radarechos als nur wenige Daten gespeichert und wie Fingerabdrücke zur Identifizierung von Luftzielen verwendet werden.

mathematische Grundlagen: www.mathepower.com
weiterführend: www.iti.fh-flensburg.de
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/; The Design and Implementation of FFTW3, Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).