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La Ecuación de Radar

La ecuación del radar representa las dependencias físicas de la potencia de transmisión, es decir, la propagación de la ondas emitidas hasta la recepción de la señales de retorno. Además, uno puede determinar el desempeño del radar con la ecuación del radar.

Figura 1: La densidad de potencia omnidireccional disminuye en la medida que se esparce de manera geométrica el haz.

Figura 1: La densidad de potencia omnidireccional disminuye en la medida que se esparce de manera geométrica el haz.

Argumentación/Derivación

En primer lugar, asumimos que las ondas electromagnéticas se propagan bajo condiciones ideales, es decir, sin dispersión.

Figura 1: La densidad de potencia omnidireccional disminuye en la medida que se esparce de manera geométrica el haz.

Figura 1: La densidad de potencia omnidireccional disminuye en la medida que se esparce de manera geométrica el haz.

Si la energía de alta frecuencia es emitida por un radiador isotrópico, la energía se propaga de manera uniforme en todas las direcciones. Las áreas con la misma densidad de energía por lo tanto forman esferas (A= 4 π R²) alrededor del radiador. La misma cantidad de energía se separa hacia fuera en una superficie esférica incrementada en un radio esférico incrementado. Eso significa: la densidad de energía en la superficie de una esfera es inversamente proporcional al radio de la esfera, es decir, que a medida que aumenta la distancia de la fuente, la densidad de la potencia decrece.

Por lo tanto, tenemos la fórmula para calcular la Densidad de Potencia Omnidireccional Su

Su = Ps in W PS = Potencia transmitida [W]
Su = Densidad de Potencia Omnidireccional
R1 = Rango de la Antena - Objetivo [m]
(1)


4 · π · R12 m2

Ya que un segmento esférico emite igual radiación en todas las direcciones (a una potencia de transmisión constante), si la potencia irradiada es redistribuida para proporcionar más radiación en una dirección, entonces, ésto resulta en un aumento de la densidad de la potencia en la dirección de la radiación. Este efecto es llamado ganancia de antena. Esta ganancia es obtenida direccionando la potencia radiada. Así, a partir de la definición, la densidad de potencia direccional es:

Sg = Su · G
 
Sg = Densidad de la Potencia Direccional [W]
Su = Densidad de Potencia Omnidireccional
G = Ganancia de Antena
(2)

Por supuesto, en la realidad, las antenas de radar no son las que “irradian parcialmente” los radiadores isotrópicos. Las antenas del radar deben tener una anchura pequeña de haz y un aumento de la antena de hasta 30 o 40 dB. (Ejemplo: Antena parabólica de plato o antena con arreglos de fase).

La detección de un objetivo no depende exclusivamente de la densidad de la potencia en la posición del blanco, si no que además, se debe tener en cuenta la cantidad de potencia reflejada desde el blanco hacia el radar. Con el fin de definir la potencia reflejada útil, es necesario conocer la sección transversal del radar σ. Esta cantidad depende de muchos factores. Lo que si se puede concluir es que un área más grande refleja más energía que un área más pequeña. Lo que significa:

Un avión Airbus ofrece más sección transversal de radar que un avión deportivo en la misma situación de vuelo. Más allá de esto, el área de reflexión depende del diseño, composición de la superficie y los materiales usados en la fabricación del objetivo.

Con esto en mente, podemos decir: La potencia reflejada Pr en un radar, depende de la densidad de la potencia Su, el aumento G de la antena y de la sección transversal variable del radar σ:

Pr = Ps · G · σ in [W] Pr = Potencia reflejada [W]
σ = Sección transversal del radar [m2]
R1 = Rango, distancia antena - objetivo [m]
(3)

4 · π · R12

Sencillamente, un objetivo puede ser visto como un radiador debido a su potencia reflejada. En cuyo caso la potencia reflejada Pr es la potencia emitida.

Dado que los ecos encuentren las mismas condiciones que la potencia transmitida, la densidad de la potencia producida en el receptor Se está dada por:

Figura 2: Conexión entre la formula 3 & 4

Figura 2: Conexión entre la formula 3 & 4

Se = Pr in W Se = Densidad de la potencia en el sitio de recepción
Pr = Potencia reflejada [W]
R2 = Rango objetivo – antena [m]
(4)


4 · π · R22 m2

En la antena del radar, la potencia recibida PE, depende de la densidad de la potencia en el sitio de recepción se, y la apertura efectiva de antena AW.

PE = Se · AW
 
PE = Potencia recibida [W]
AW = Apertura efectiva de antena [m²]
(5)

La apertura efectiva de antena se deriva del hecho de que una antena sufre pérdidas, por lo tanto, la potencia recibida en la antena no es igual a la potencia de entrada. En general, la eficiencia de la antena es aproximadamente de 0,6 a 0,7 (Eficiencia Ka).

Aplicada al área geométrica de la antena, la apertura efectiva de la antena es:

AW = A · Ka
 
AW = Apertura efectiva de la antena [m²]
A = Área geométrica de la antena [m²]
Ka = Eficiencia
(6)

La potencia recibida PE puede ser entonces calculada:

Equation (7) und (8)

Las ondas transmitidas y reflejadas han sido vistas separadamente. El próximo paso es considerar ambas, tanto la señal transmitida como la reflejada: ya que R2 (objetivo - antena) es la distancia R1 (antena - objetivo) entonces,

Formel (9)

Otra ecuación, que no será derivada aquí, describe la ganancia de la antena G en función de la longitud de onda λ.

G = 4 · π· A · Ka (10)

λ2

Solucionando para A, el área de la antena, y substituir A en la ecuación 9; después de la simplificación obtenemos el siguiente resultado:

Pe = Ps · G2· σ · λ2 in [W] (11)

(4 · π)3 · R4

Despejando el rango R, en la ecuación (11) nosotros obtenemos la ecuación clásica de radar:

Equation (12) (12)

Todos los parámetros que influyen en la propagación de ondas de las señales de radar fueron tenidos en cuenta en esta ecuación. Antes que procuremos utilizar la ecuación de radar en la práctica, por ejemplo, para determinar la eficiencia del sistema radar, es necesario tener en cuenta ciertas consideraciones adicionales.

Para un equipo dado de radar, la mayoría de los tamaños (Ps, G, λ) pueden ser considerados como una constante, toda vez que estos son sólo parámetros variables en rangos muy pequeños. La sección transversal del radar, por otro lado, varía en gran medida, pero para propósitos prácticos nosotros asumiremos 1 m².

Equation (13) (13)

La potencia recibida más pequeña que puede ser detectada por el radar es llamada PEmin. Potencias más pequeñas que PEmin no son tenidas en cuenta pues se confunden con el ruido del receptor. La potencia mínima es detectada en el rango máximo Rmax como se puede ver en la ecuación.

Una aplicación de esta ecuación de radar es fácil para visualizar cómo el desempeño de las unidades de radar influye el rango.

Las influencias en el Rango Máximo de una Unidad de Radar

Todas las consideraciones, en el cálculo de la ecuación de radar, se hicieron asumiendo que las ondas electromagnéticas se propagan bajo condiciones ideales, sin influencias perturbadoras. En la práctica una serie de pérdidas deben ser consideradas ya que reducen considerablemente la eficacia del radar.

En primer lugar, la ecuación de radar se amplía al incluir el factor de pérdida Lges.

Equation (14) (14)

Este factor incluye las siguientes pérdidas:

Componentes de alta frecuencia, tales como guías de onda, filtros, y también la cúpula de la antena del radar, generan pérdidas internas. Para una determinada unidad de radar, esta pérdida es relativamente constante y también fácil de medir.

La atenuación atmosférica y los reflejos en la superficie de la tierra, también son factores de perdida que influyen permanentemente en el desempeño del radar.

Influencia de la superficie terrestre

Existe una ecuación de radar más extensa pero menos utilizada, que utiliza unos términos adicionales tales como la superficie de la tierra, pero que no tiene en cuenta ni la sensibilidad del receptor y ni la absorción atmosférica.

Equation (15) (15)

En esta fórmula, además de las cantidades ya conocidas, existen otras que son tenidas en cuenta:

(15)
Kα = Factor de pérdida en el sitio de Lges.   Az = Superficie efectiva de reflejo en el lugar de σ
ti = Longitud de pulso K = Constante de Boltzmann
T0 = Temperatura absoluta en K nR = Ruido del receptor
d = El factor de claridad de la pantalla γ = Ángulo del haz reflejado
δR = Factor de equilibrio Re = Distancia del medio absorbente

Reflexiones del radar desde una superficie plana

La representación trigonométrica muestra la influencia de la superficie terrestre. La superficie terrestre plana que se encuentra alrededor de una antena del radar tiene un impacto significativo en el esquema polar vertical.
La combinación de la senal de retorno que llega directamente a la antenna del radar desde el objetivo, junto con la senal de retorno que llega cerca del radar, redirigiendose hacia la antenna, cambia los patrones de transmisión y recepción de la antena. Esto es muy importante en la gama de frecuencias de VHF y disminuye en la medida que se incrementa la frecuencia. Para la detección de objetivos a bajas alturas, un reflejo en la superficie terrestre es necesaria, Esto sólo es posible si las ondas del área dentro de la primera zona de Fresnel no superen el valor 0.001 R (es decir: Dentro de un radio de 1000 m, ningún obstáculo puede ser mayor que 1 m).

Desviación de las reflexiones terrestres
Figura 3: Desviación de las reflexiones terrestres

Los radares especializados en banda de frecuencias menores (VHF), hacen uso de las reflexiones en la superficie terrestre y de la transmisión de las señales en forma de lóbulos con el fin de aumentar la cobertura en los niveles bajos. En frecuencias más altas estas reflexiones causan más perturbación. La imagen siguiente muestra la estructura de lóbulo causada por la reflexion terrestre. Normalmente, esto es sumamente indeseable, pues los aviones viajando a través de los lóbulos son detectados en forma intermitente. La técnica se ha utilizado en los radares de Control de Tráfico Aéreo, (ATC por sus siglas en ingles) para ampliar su rango de cobertura, lo cual trabaja bien a frecuencias bajas, donde la amplia estructura del lóbulo permite una cobertura adecuada a grandes alturas.

Diagrama de radiación vertical en el espacio libre
Efecto de las reflexiones terrestres
Diagrama de radiación de
cosecante cuadrada

Figura 4: Un diagrama de patrón vertical con influencia de los reflejos terrestres.

Diagrama de radiación vertical en el espacio libre
Efecto de las reflexiones terrestres
Diagrama de radiación de
cosecante cuadrada

Figura 4: Un diagrama de patrón vertical con influencia de los reflejos terrestres.

Diagrama de radiación vertical en el espacio libre
Efecto de las reflexiones terrestres
Diagrama de radiación de
cosecante cuadrada

Figura 4: Un diagrama de patrón vertical con influencia de los reflejos terrestres.

Aumentar la altura de la antena, mejora el arreglo de los lóbulos, con lo cual la deteccion mejora radicalmente. En tal estructura, los agujeros de detección que se forman entre los lóbulos y que son originados debido a las irregularidades del suelo, son llenados parcialmente. En realidad, si la superficie del suelo no es muy plana entonces los efectos de refuerzo o atenuación debidos a las reflexiones disminuyen. Evitar estos efectos, es una de las preocupaciones principales cuando se trata de definir el sitio de ubicación de un radar y la altura de su antena.