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Die Radargrundgleichung

Die Radargrundgleichung wird dazu benutzt, die physikalischen Zusammenhänge von der Sendeleistung über die Wellenausbreitung bis zum Empfang darzustellen. Mit ihr kann die Leistung PE am Eingang des Radarempfängers in Abhängigkeit von der Sendeleistung PS, der Entfernung R und den Reflexionseigenschaften des Objektes σ bestimmt werden. Bei bekannter Empfindlichkeit des Empfängers kann somit abgeschätzt werden, bis zu welcher Reichweite unter den gegebenen Umständen das Zielobjekt ein ausreichend starkes Echosignal erzeugen wird, dass es im Radargerät erkannt wird. So lässt sich mit der Radargleichung die betriebliche Leistungsfähigkeit von Radaranlagen beurteilen.

Bild 1: Ungerichtete Leistungsdichte

Bild 1: Ungerichtete Leistungsdichte

Herleitung der Radargleichung

Im Folgenden wird zunächst davon ausgegangen, dass sich die elektromagnetischen Wellen unter idealen Bedingungen, also ohne Störeinflüsse, ausbreiten können.

Grafik: zwei Segmente auf der Oberfläche von zwei konzentrischen Kugeln unterschiedlicher Größe zeigen, dass sich die Fläche pro Leistung mit zunehmender Entfernung vom Mittelpunkt vergrößert. Somit nimmt die Strahlungsdichte pro Flächeneinheit mit zunehmender Entfernung ab.

Bild 1: Ungerichtete Leistungsdichte

Wird von einem isotropen Kugelstrahler hochfrequente Energie abgestrahlt, so verteilt sich diese gleichmäßig nach allen Richtungen. Demzufolge bilden Flächen gleicher Leistungsdichte Kugeln um den Strahler. Bei größer werdendem Kugelradius verteilt sich die Energie auf eine größere Fläche (A= 4 π R²) um den Strahler. Oder anders ausgedrückt: bezogen auf eine angenommene Fläche wird die Leistungsdichte S an der Fläche A mit steigendem Abstand durch die Strahlungsdivergenz geringer.

Somit ergibt sich für die ungerichtete Leistungsdichte Su in Watt pro Flächeneinheit auf der Kugel mit dem Radius R1 die folgende Formel:

Su = Ps in W PS = Sendeleistung [W]
Su = ungerichtete Leistungsdichte
R1 = Entfernung Antenne - Ziel [m]
(1)


4 · π · R12 m2

Bild 2: Richtdiagramm einer Parabolantenne

Richtdiagramm einer Parabolantenne

Bild 2: Richtdiagramm einer Parabolantenne

Wird die Abstrahlung (bei gleichbleibender Sendeleistung) durch die Richtwirkung einer Antenne auf eine Kugelteilfläche begrenzt, so ergibt sich in Abstrahlrichtung eine Erhöhung der Leistungsdichte. Man spricht von einem Antennengewinn. Für die gerichtete Leistungsdichte Sg ergibt sich:

Sg = Su · G
 
Sg = gerichtete Leistungsdichte [W]
Su = ungerichtete Leistungsdichte
G = Antennengewinn
(2)

Radarantennen sind in der Realität natürlich keine „teilabstrahlenden” Kugelstrahler, sondern Richtantennen (z.B. Parabolantennen oder Phased Array Antennen) mit einem Antennengewinn von 30 bis 40 dB, was in der Formel einem Faktor von 1000 bis 10000 entspricht.

Die Zielauffassung ist nicht nur von der Leistungsdichte am Ort des Zieles abhängig, sondern zusätzlich von der Einschränkung wie viel davon tatsächlich in Richtung der Radaranlage reflektiert wird. Um die nutzbare reflektierte Leistung bestimmen zu können, wird die Rückstrahlfläche σ benötigt. Diese schwierig zu erfassende Größe ist von mehreren Faktoren abhängig. So ist es zunächst einleuchtend, dass eine größere Fläche mehr Leistung reflektiert als eine kleine Fläche, anders ausgedrückt:

Ein Airbus bietet bei gleicher Fluglage mehr Reflexionsfläche als ein einmotoriges Sportflugzeug. Darüber hinaus hängt die Rückstrahlfläche stark von Formgebung, Oberflächenbeschaffenheit und den verwendeten Materialien ab.

Wird das bisher gesagte zusammengefasst, so ergibt sich die reflektierte Leistung Pr (am Zielort) aus der Leistungsdichte Su, dem Antennengewinn G und der sehr variablen Rückstrahlfläche σ :

Pr = Ps · G · σ in [W] Pr = reflektierte Leistung [W]
σ = Rückstrahlfläche [m²]
R1 = Entfernung Radarantenne - Ziel [m]
(3)

4 · π · R12

Bild 3: Zusammenhang zwischen Formel (3) und (4)

Diese Grafik zeigt dem verwirrten Leser, dass die Sendeleistung (Ps) auf dem Weg zum Flugzeug (R1) abgeschwächt, dort zur reflektierten Leistung (Pr) wird und auf dem Rückweg (R2) wiederum abgeschwächt zur Leistungsdichte am Empfangesort (Se) wird.

Bild 3: Zusammenhang zwischen
Formel (3) und (4)

Vereinfacht kann ein Ziel aufgrund der reflektierten Leistung wiederum als Strahler betrachtet werden. Die reflektierte Leistung Pr wird dann zur abgestrahlten Leistung.

Da auf dem Rückweg der Echos die gleichen Verhältnisse wie auf dem Hinweg herrschen, ergibt sich für die Leistungsdichte am Empfangsort Se:

Se = Pr in W Se = Leistungsdichte am Empfangsort
Pr = reflektierte Leistung [W]
R2 = Entfernung Ziel - Antenne [m]
(4)


4 · π · R22 m2

An der Radarantenne ist die Empfangsleistung PE abhängig von der Strahldichte am Empfangsort und der wirksamen Antennenfläche AW.

PE = Se · AW
 
PE = Empfangsleistung [W]
AW = wirksame Antennenfläche [m²]
(5)

Eine effektiv wirksame Antennenfläche ergibt sich aus der Tatsache, dass eine Antenne nicht verlustfrei arbeitet, d.h. die geometrischen Abmessungen stehen nicht ganz als Empfangsfläche zur Verfügung. In der Regel ist die Wirkung einer Antenne um den Faktor 0,6 bis 0,7 (Faktor Ka) kleiner, als die geometrischen Abmessungen vermuten lassen.

Für die wirksame Antennenfläche gilt:

AW = A · Ka
 
AW = wirksame Antennenfläche [m²]
A = geometrische Antennenfläche [m²]
Ka = Faktor
(6)

Damit ergibt sich für die Leistung PE am Empfangsort:

Formel (7) und (8): Wir beginnen mit: Die Leistung am Empfangsort (PE) ist gleich der Leistungsdichte am Empfangsort (Se) mal der wirksame Antennenfläche (Aw).
Die wirksame Antennenfläche (Aw) wird durch die Formel ersetzt: wirksame Antennenfläche (Aw) ist gleich der geometrischen Antennenfläche mal dem Faktor (Ka). Das ist jetzt die Formel (7).
In die Formel (7) wird im nächsten Schritt die Formel (4), die Leistungsdichte am Empfangsort ist gleich... eingesetzt. Somit ist die Formel (8) hergeleitet.

Bisher wurde bei den Herleitungen der Hin- und Rückweg gesondert betrachtet. Mit dem nächsten Schritt werden beide Wege zusammengefasst und da die Strecke R1 (Antenne - Ziel) gleich R2 (Ziel - Antenne) ist, wird das im nächsten Schritt berücksichtigt.

Formel (9): 
Der Nenner in der Gleichung (8) (die reflektierte Leistung P_r) wird durch die Gleichung (3) ersetzt. 
Nach Kürzung und Zusammenfassung entsteht die Gleichung (9). 
Die Empfangsleistung P_E ist gleich dem Wert des Quotienten aus dem Dividenten aus dem Produkt der Sendeleistung P_S, dem Antennengewinn G und der effektiven Reflexionsfläche σ sowie dem Divisor aus dem Produkt des Quadrats aus vier mal π sowie der der vierten Potenz der Schrägentfernung R. 
Dieser Quotient wird multipliziert mit der effektiven Apertur der Empfangsantenne, hier als Produkt aus der geometrischen Fläche A und dem Wirkungsgrad der Antenne K_a
Die vierte Potenz der Schrägentfernung ist entstandenden aus dem Quadrat des Hinweges R_1 mal dem Quadrat des Rückweges R_2. Unter der Annahme, dass beide Entfernungen gleich sind, wurden sie zusammengefasst.

Eine weitere Gleichung, die an dieser Stelle nicht hergeleitet werden soll, stellt den Antennengewinn G in Beziehung zu der verwendeten Wellenlänge λ.

G = 4 · π· A · Ka (10)

λ2

Nach der Umstellung auf die Antennenfläche A · Ka und dem Einsatz in die Gleichung (9) ergibt:

Pe = Ps · G2· σ · λ2 in [W] (11)

(4 · π)3 · R4

Nach der Umstellung auf die Reichweite R entsteht die klassische Form der Radargleichung:

Formel (12): Die Reichweite eines Radargerätes ist gleich der vierten Wurzel aus dem Bruch mit dem Zähler das Produkt aus der Sendeleistung (Ps), dem Quadrat des Antennengewinns (G),dem Quadrat der Wellenlänge (λ) und der effektiven Reflexionsfläche (σ). Im Nenner steht das Produkt aus der Empfangsleistung (P e min) (Klammer auf...) 4 π(... Klammer zu) hoch drei. (12)

Bei der Herleitung der Radargleichung wurden alle Größen, die Einfluss auf die ungestörte Wellenausbreitung der Radarsignale nehmen, berücksichtigt. Darüber hinaus wurden die Abhängigkeiten der Größen veranschaulicht und letztendlich in der klassischen Radargleichung zusammengefasst.

Über diesen theoretischen Ansatz hinaus lässt sich die Radargleichung sehr wohl auch in der Praxis anwenden, z.B. um die Leistungsfähigkeit von Radaranlagen zu ermitteln. Für diese erweiterten Betrachtungen eignet sich die Form der klassischen Radargleichung jedoch noch nicht. Einige weitere Überlegungen sind notwendig.

Bezogen auf eine bestimmte Radaranlage können die meisten Größen (Ps, G, σ) als konstant betrachtet werden, da sie nur in kleinen Bereichen veränderliche Gerätedaten sind. Dagegen stellt die effektive Rückstrahlfläche σ eine schwer fassbare Größe dar und wird deshalb meistens mit dem praxisorientierten Wert 1 m² angenommen.

Unter dieser Bedingung ist die Empfangsleistung PE interessant, die im Radarempfänger ein gerade noch wahrnehmbares Echosignal hervorruft. Diese Empfangsleistung wird PE min genannt. Kleinere Empfangsleistungen sind nicht verwertbar, da sie im Rauschen des Empfängers untergehen. PE min in die Radargleichung eingesetzt, bewirkt, dass mit der Gleichung die theoretisch maximale Reichweite Rmax bestimmt werden kann.

Formel (13): ist eine Abwandlung der Formel (12). Ersetzt wurde die Empfangsleistung P_E durch die minimal mögliche Empfangsleistung P_E_min und das Ergebnis ist dann die energetisch maximal mögliche Reichweite. 
	Die maximale Reichweite ist gleich der vierten Wurzel aus dem Bruch mit dem Zähler das Produkt aus der Sendeleistung (Ps), dem Quadrat des Antennengewinns (G),dem Quadrat der Wellenlänge (λ) und der effektiven Reflexionsfläche (σ). Im Nenner steht das Produkt aus der nun minimal möglichen Empfangsleistung (P e min) (Klammer auf...) 4 π(... Klammer zu) hoch drei. (13)

Eine praxisnahe Anwendung dieser Radargleichung ist die Ermittlung von Leistungsdaten bestimmter Radaranlagen mit dem Ziel, die Anlagen zu vergleichen und zu bewerten.

Einflüsse auf die Reichweite einer Radaranlage

Alle Betrachtungen in Zusammenhang mit der Radargleichung wurden bisher unter der Voraussetzung angestellt, dass sich die elektromagnetischen Wellen unter idealen Bedingungen ausbreiten können. In der Praxis ergeben sich allerdings eine Reihe von Verlusten, die nicht unberücksichtigt bleiben können, da sie die Wirksamkeit einer Radaranlage zum Teil erheblich reduzieren.

Dazu wird zunächst die Radargleichung um den (gesamten) Verlustfaktor Lges erweitert. Da diese Verluste die Reichweite verringern, erscheint dieser Faktor im Nenner:

Formel (14): ist die Formel (13) erweitert: unter der vierten Wurzel steht im Nenner zusätzlich der Gesamtverlustfaktor (L_Ges) (14)

Dieser Faktor fasst die nachfolgend beispielhaft aufgeführten Verlustarten zusammen:

Geräteinterne Dämpfungsverluste entstehen in der Hauptsache an Hochfrequenzbauteilen wie Hohlleiter, Filter, aber auch durch ein Radom. Diese Verlustart ist, bezogen auf eine bestimmte Radaranlage, in ihrem Wert relativ konstant und auch gut ermittelbar (messbar).

Als ständiger Einfluss ist noch die atmosphärische Dämpfung und Reflexionen an der Erdoberfläche zu nennen.

Einfluss der Erdoberfläche

Eine erweiterte, heute aber nicht mehr verwendete Form der Radargleichung berücksichtigt zusätzliche Faktoren, wie den Einfluss der Erdoberfläche und schlüsselt die Empfängerempfindlichkeit (Rauschfaktor), den Deckungswinkel des Standortes (Faktor mit Sinusfunktionen) und die atmosphärische Dämpfung (Faktor mit Exponentialfunktion) weiter auf.

Formel (15) wurde in der Offiziersausbildung der ehemaligen NVA verwendet. 
	Sie entspricht etwa der Gleichung (13), hat aber anstelle von P_E_min einen Term aus dem Produkt aus der Botzmannkonstante K, der absoluten Temperatur T_0 und der Rauschzahl des Empfängers. 
	Das entspricht der praktischen Erfahrung, dass Echosignale, die kleiner als das Empfängerrauschen sind, nicht empfangen werden können.
	Anstatt der für den Rauschpegel notwendigen Bandbreite unter der Wurzel erscheint im Nenner die Impulsdauer t_i. Damit wird angenommen, dass bei diesem Radar die Bandbreite des Empfängers gleich dem Reziprokwert aus der Impulsdauer ist.
	Es folgt als Faktor ein Sinus aus dem Wert einer Klammer. Innerhalb der Klammer steht das Verhältnis der mittleren Antennenhöhe h_m zur Wellenlänge λ; dies multipliziert mit 2π und dem Sinus des Höhenwinkels γ.
	Es folgt weiterhin als Faktor die  Eulersche Zahl (e) hoch dem Produkt aus 0,115 sowie der Entfernung R_e eines dämpfenden Mediums (z.B.: Wolke) und der Dicke des dämpfenden Mediums δ_R (15)

In dieser Formel bedeuten zusätzlich zu den bereits bekannten Größen:

Kα = Verlustfaktor an Stelle von Lges. Az = effektive Reflexionsfläche an Stelle von σ
ti = Impulsdauer K = Boltzmannsche Konstante
T0 = absolute Temperatur in K nR = Rauschzahl des Empfängers
d = Deutlichkeitsfaktor des Sichtgerätes   γ = Abstrahlwinkel
δR = Entfernungsdifferenz mit erhöhtem Dämpfungsfaktor  Re = Anfangsentfernung des dämpfenden Mediums
hm = mittlere Antennenhöhe γ = Höhenwinkel des Zieles

Dass diese Formel nicht mehr verwendet wird, ist dem Umstand geschuldet, dass der darin beschriebene Einfluss der Erdoberfläche auf Radargeräte im VHF–Bereich zugeschnitten ist, die heute in Europa nicht mehr verwendet werden. Die Aufschlüsselung der minimal möglichen Empfängerempfindlichekeit wird jedoch oft vorgenommen. Ein Echosignal muss eben etwas größer als der Rauschpegel sein, damit es als Zielzeichen erkannt werden kann.

Bild 3: Reflexionen an der Erdoberfläche

Reflexionen an der Erdoberfläche haben eine Laufzeitverzögerung.

Bild 3: Reflexionen an der Erdoberfläche

Reflexionen an der Erdoberfläche

In Formel (15) repräsentiert der Faktor mit den Sinusfunktionen den Einfluss der Erdoberfläche.
Durch die Überlagerung des direkten mit dem reflektierten Echo verändert sich das Sende- und Empfangsdiagramm der Antenne. Dieser Einfluss ist im VHF-Bereich erheblich und nimmt mit zunehmender Frequenz ab. Zur Ortung von Zielen in geringen Höhen ist eine spiegelnde Reflexion an der Erdoberfläche nötig. Diese wird nur erreicht, wenn die Welligkeit des Geländes innerhalb der 1. Fresnelschen Zone den Wert 0,001 R nicht übersteigt (D.h: Innerhalb von einem Radius von 1000 m darf kein Hindernis größer als 1 m sein!).

Diese Reflexionen können bei sehr hochauflösenden Radargeräten auch zur Bestimmung des Höhenwinkels durch Multipathempfang genutzt werden.

Spezialisierte Radargeräte vor allem in niedrigeren Radarfrequenzbereich unterhalb des L–Bandes nutzen die Reflexionen an der Erdoberfläche zur Erhöhung der Reichweite in niedrigen Höhen. Bei höheren Frequenzen ist der Einfluss der Reflexionen eher störend. Das folgende Bild zeigt das Antennendiagramm einer E–Band Antenne, welches durch die Reflexionen an der Erdoberfläche deformiert wurde. Diese zerklüftete untere Flanke des Diagramms ist sehr störend, weil eine durchgehende Darstellung eines Flugzieles in einer bestimmten Höhe damit unmöglich geworden ist.

Diagramm ohne Einfluss der Reflexion
Einfluss von Reflexionen an der Erdoberfläche
„Grau, lieber Freund, ist alle Theorie”:
hier ist es das idealisierte Cosecans²- Diagramm!

Bild 4: Einfluss von Reflexionen auf das Antennendiagramm

Diagramm ohne Einfluss der Reflexion
Einfluss von Reflexionen an der Erdoberfläche
„Grau, lieber Freund, ist alle Theorie”:
hier ist es das idealisierte Cosecans²- Diagramm!

Bild 4: Einfluss von Reflexionen auf das Antennendiagramm

Reflexionen an der Erdoberfläche verändern das Antennendiagramm. 
In Blau das Diagramm ohne nennenswerte Reflexion: es werden zwei recht breite sich überlappende Hauptkeulen gebildet. In höheren Winkeln (größer 15°) folgen eine Vielzahl schmalerer Nebenkeulen. 
Das Diagramm in Rot zeigt den Einfluss von Reflexionen an der Erdoberfläche: es werden die Hauptkeulen in viele schmalere Keulen zerrissen, so dass sich in bestimmten Höhenwinkeln die Reichweite des Radars emfindlich verringert. 
Ein rechtwinkliges Trapez mit leicht abgerundeten Ecken stellt die theoretische Form eines cosecans-quadrat-Diagramms dar (die graue Theorie!).
Diagramm ohne Einfluss der Reflexion
Einfluss von Reflexionen an der Erdoberfläche
„Grau, lieber Freund, ist alle Theorie”:
hier ist es das idealisierte Cosecans²- Diagramm!

Bild 4: Einfluss von Reflexionen auf das Antennendiagramm

Eine Erhöhung des Antennenturms würde den Effekt verringern. Eine größere Anzahl von Keulen, aber mit kleinerer Ausprägung werden dann meist durch Hindernisse in der Umgebung verdeckt. Bei der Auswahl des Antennenstandortes und vor allem der Antennenhöhe muss also Augenmerk auf die Verhinderung der Auswirkungen der Reflexionen an der Erdoberfläche gelegt werden. Ist das Radar in einer Umgebung aufgebaut die von einer flachen, spiegelnden Ebene völlig abweicht, dann können diese diagrammstörenden Effekte nicht mehr beobachtet werden. Je höher die Antenne steht, desto weiter weg liegen diese reflektierenden Flächen. Gleichzeitig müssen die reflektierenden Flächen auch größer sein wegen der Divergenz der Strahlung. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Reflexionen gleichmäßig stark sind und zu Interferenzen führen, sehr viel geringer.